لگاریتم

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود. مفهوم امروزی لگاریتم در نتیجه کارهای اویلر در قرن ۱۸ میلادی توسعه یافته است. اویلر نخستین کسی بود که مفهوم لگاریتم را به مفهوم تابع نمایی پیوند داد.

چه تعداد از یک عدد را باید در خودش ضرب کنیم تا عدد دیگری را به دست آوریم؟

مثال: چه تعداد از عدد ۲ را باید در هم ضرب کنیم تا عدد ۸ به دست بیاید؟

پاسخ۸ = ۲ × ۲ × ۲، پس باید ۳ بار ۲ را در خود ضرب کنیم تا عدد ۸ بدست آید. پس لگاریتم برابر ۳ است.

کلمه لگاریتم

«لگاریتم» عبارتی است که ریاضی‌دان اسکاتلندی، جان نپر (۱۶۱۷ – ۱۵۵۰) آن را ساخته است. در زبان یونانی کلمه لوگوس به معنی «نسبت، میزان یا واژه» و آریتموس به معنی «عدد» است، ترکیب این دو واژه با هم به معنی «نسبت – عدد» می‌شود.

چگونه لگاریتم را بنویسیم

دانستیم که بدین جهت لگاریتم ۸ برابر با ۳ است که تعداد دفعاتی که باید ۲ را در خودش ضرب کنیم تا عدد ۸ به دست آید، ۳ است. این مفهوم را به شکل زیر می‌نویسیم:

log2(8) = 3

پس این دو عمل باهم برابرند:

عددی که ضرب می‌کنیم، همان «پایه» است. پس می‌شود گفت:

  • لگاریتم ۸ با پایه ۲ برابر است با ۳
  • یا لگاریتم پایه دو ۸ برابر است با ۳
  • یا پایه ۲ لگاریتم ۸ برابر است با ۳

دقت کنید که در موضوع لگاریتم با سه نوع عدد سر و کار داریم:

  • پایه یعنی عددی که ما ضرب می‌کنیم (در این مثال ۲ بود)
  • تعداد دفعاتی که عدد پایه را در خود ضرب می‌کنیم (۳ بار، که همان لگاریتم است)
  • عددی که می‌خواهیم در انتها بگیریم (عدد ۸)

مثال های بیشتر

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید.

log5(625)

سوال می‌پرسد: چه تعداد ۵ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۲۵ به دست آید؟ پاسخ چنین است:

۶۲۵ = ۵ × ۵ × ۵ × ۵

پس ما به ۴ تا پنج نیاز داریم. بنابراین:

log5(625) = 4

مثال: لگاریتم زیر را حساب کنید:

log2(64)

سوال می‌پرسد: چه تعداد ۲ باید در هم ضرب شوند تا عدد ۶۴ به دست آید؟ برای محاسبه داریم:

۶۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲

پس ما به ۶ تا دو نیاز داریم:

log2(64) = 6

توان‌ها

توان‌ها و لگاریتم‌ها مرتبط هستند، در ادامه نحوه ارتباط این دو را بررسی می‌کنیم.

صورت سوال یک لگاریتم به این شکل است:

و پاسخ آن نیز به صورت زیر است:

لگاریتم برایمان مشخص می‌کند که توان چه عددی است. در مثال ذکر شده پایه برابر ۲ و توان برابر ۳ است:

پس لگاریتم دپاسخ سوال زیر را نیز می‌دهد که به چه توانی برای یک عدد احتیاج داریم تا آن به عدد مشخص دیگری تغییر یابد. به طور کلی رابطه توان و لگاریتم به شکل زیر است:

مثال: لگاریتم زیر را بیابید:

log10(100)

پاسخ:

۱۰۲ = ۱۰۰

پس توانی به مقدار ۲ نیاز است که عدد ۱۰ را به ۱۰۰ تغییر دهیم:

log10(100) = 2

مثال: لگاریتم زیر را پیدا کنید:

log3(81)

پاسخ:

۳۴ = ۸۱

پس توانی به اندازه ۴ نیاز است که عدد ۳ به ۸۱ تغییر یابد:

log3(81) = 4

لگاریتم‌های معمولی: پایه ۱۰

گاهی اوقات یک لگاریتم را بدون پایه می‌نویسند، مانند:

log(100)

این معمولاً به این معنی است که پایه برابر ۱۰ است.

به این لگاریتم، یک «لگاریتم معمولی» گفته می‌شود، مهندسان به این لگاریتم علاقه خاصی دارند. این لگاریتم در ماشین‌حساب‌ها با عبارت log مشخص می‌شود.

این لگاریتم نشان می‌دهد که چند بار باید عدد ۱۰ را در خود ضرب کنیم، تا عدد مورد نظرمان به دست آید.

مثال:

log(1000) = log10(1000) = 3